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2017년 제58회 국제수학올림피아드(IMO) 참가후기
2009년, 2011년, 2012년, 2016년에 이어 2017년 브라질 리우데자네이루에서 열린 제58회 국제수학올림피아드에 다녀왔습니다. 올해는 111개 나라에서 총 615명의 학생들이 참가하여, 역대 최대 참가자수였던 작년의 602명 기록을 조금 더 넘겼습니다. 예전처럼 올해도 간략하게 참가 후기를 적어볼까 합니다. 2012년 국제수학올림피아드 참가후기 2016년 국제수학올림피아드 참가후기 (사이언스북스 블로그 연재: 1편, 2편, 3편) 우리나라는 1988년 호주에서 열린 29회 대회부터 참가하였는데, 올해는 2012년에 이어 역대 두 번째로 우리 나라 학생 전원이 금메달을 받음과 동시에 총점으로 세는 국가별 랭킹에서 1위를 차지하는 성과를 냈습니다. 올해 참가한 우리나라 대표 학생들은 모두 서울과학고 학생으로 아래와 같습니다.
수학동아 "따끈따끈한 수학" 연재 (2017년)
2016년부터 수학동아에 “따끈따끈한 수학”이라는 코너를 연재하고 있습니다. 소개된 논문을 정리한 글이 너무 길어져서 연도별로 분리하기로 하였습니다. 2016년 따끈따끈한 수학 내용 보기 2017년 1월호: 에르되시-버어 추측을 해결하다! 이중범 박사가 40년 이상 묵은 Burr와 Erdos의 1973년 추측을 해결하였고 그 논문이 Annals of Mathematics에 게재승인되었다는 소식을 전했습니다. 논문 Choongbum Lee. Ramsey numbers of degenerate graphs. Annals of Mathematics. 185(2017) pp. 791-829. doi:10.4007/annals.2017.185.3.2 2017년 2월호: 자연수 색칠하기 문제 자연수 전체를 유한개의 색으로 색칠했을 때, x, x+y, xy가 같은 색이 되는 x, y가 항상 있다는 Joel Moreira 박사의 결과를 소개했습니다. 논문 Joel Moreira, Monochromatic sums and products in ℕ. Annals of Mathematics 185 (2017), pp. 1069-1090. doi:10.4007/annals.2017.185.3.10 2017년 3월호: 스타인버그의 추측 길이가 4나 5인 회로가 없는 평면 그래프는 3개 색으로 꼭짓점을 칠할 수 있는지에 관한 스타인버그(Steinberg)의 추측의 반례가 발견되었다는 소식을 전하였습니다. 논문 V. Cohen-Addad, M. Hebdige, D. Král’, Z. Li, E. Salgado, Steinberg’s conjecture is false, J. Combin. Theory Ser. B. 122 (2017) 452–456. doi:10.1016/j.jctb.2016.07.006. 2017년 4월호: Frankl의 Union-Closed Set 추측! Random bipartite graph에서는 P. Frankl의 union-closed sets conjecture가 대부분 성립한다는 H. Bruhn과 O. Schaudt의 논문을 소개하였습니다. 논문 H. Bruhn, O. Schaudt, The union-closed sets conjecture almost holds for almost all random bipartite graphs, European J. Combin. 59 (2017) 129–149. doi:10.1016/j.ejc.2016.06.006 2017년 5월호: 해바라기 추측 Slice rank 방법을 이용하여 Erdos와 Szemeredi의 sunflower 추측을 E. Naslund와 W. Sawin이 간단한 증명으로 해결한 것을 소개하였습니다. 논문 E. Naslund, W.F. Sawin, Upper bounds for sunflower-free sets, arXiv:1606.09575v1, 2016. E. Naslund, W. F. Sawin, Upper bounds for sunflower-free sets, Forum Math, Sigma, 5(2017), e15, doi:10.1017/fms.2017.12 2017년 6월호: 사잇각이 같은 직선들 n차원 공간에서 원점을 지나면서 서로 사잇각이 항상 일정하게 직선을 모을 때 최대 갯수가 어떻게 되는지에 관한 최신 결과를 소개하였습니다. 논문 I. Balla, F. Dräxler, P. Keevash, B. Sudakov, Equiangular Lines and Spherical Codes in Euclidean Space, arXiv:1606.06620, 2016. 2017년 7월호: Caccetta-Häggkvist 추측 Caccetta-Häggkvist 추측을 소개하고 Flag Algebra를 이용한 Jan Hladký, Daniel Král’, Sergey Norin의 논문 내용을 소개했습니다. 논문 J. Hladký, D. Král’, S. Norin, Counting flags in triangle-free digraphs, Combinatorica. 37 (2017) 49–76. doi:10.1007/s00493-015-2662-5. 2017년 8월호: 커크맨의 여학생 문제 조합적 디자인 문제에 최근 좋은 결과들이 나오고 있습니다. 몇 년 전 Peter Keevash 교수가 150년 전의 문제인 Generalized Steiner System에 관한 문제를 해결한 후, 이를 확장하는 연구 결과가 최근 S. Glock, D. Kühn, A. Lo, D. Osthus에 의해 증명되었습니다. 논문 P. Keevash, The existence of designs, arXiv:1401.3665, 2017. S. Glock, D. Kühn, A. Lo, D. Osthus, Hypergraph F-designs for arbitrary F, arXiv:1706.01800, 2017 참고 Peter Keevash 교수 결과에 대한 참고글, blog.combinatorics.kr, 2014. 2017년 9월호: 다울링-윌슨 추측 IAS의 허준이 박사와 위스콘신-매디슨대학교 Botong Wang 교수가 조합론 분야 40년 묵은 추측인 Dowling-Wilson 추측을 해결하였다는 소식을 전했습니다. 논문 J. Huh, B. Wang, Enumeration of points, lines, planes, etc, arXiv:1609.05484, 2017 2017년 10월호: 베크너의 문제 각 꼭지점의 차수가 3인 평면 그래프의 제곱을 7색으로 칠할 수 있다는 덴마크 DTU의 Carsten Thomassen 교수의 결과를 다루었습니다. 즉, 어떤 평면 그래프에서 각 꼭짓점에 이웃한 다른 꼭짓점의 수가 정확히 3이면, 거리가 2 이하인 두 점은 서로 다른 색이 되도록 7개 색 이하만 사용하여 칠할 수 있다는 정리입니다. 논문 C. Thomassen, The square of a planar cubic graph is 7-colorable, J. Combin. Theory Set. B, 128(2018), 192-218. doi:10.1016/j.jctb.2017.08.010 2017년 11월호: 외판원 문제 Asymmetric TSP 문제의 constant factor approximation algorithm이 처음으로 나왔다는 소식을 전했습니다. 풀어쓰자면, n개 도시를 모두 각각 한 번씩 들르고 출발점으로 최소 비용으로 돌아와야 하는 외판원 문제(Traveling Salesman Problem)의 최적값의 5500배 이내의 비용임을 보장해주는 경로를 찾아주는 효율적인 알고리듬이 나왔다는 소식입니다. 논문 O. Svensson, J. Tarnawski, and L. Végh, A constant-factor approximation algorithm for the asymmetric traveling salesman problem, arXiv:1708.04215, 2017 2017년 12월호: 볼록오각형 테셀레이션 문제 볼록오각형 하나와 합동인 도형만 가지고 평면 전체를 빈틈없이 가득 채우는 방법은 총 15가지 종류 뿐이라는 것이 최근 Michaël Rao 박사에 의해 컴퓨터를 사용하여 증명되었습니다. 논문 M. Rao, Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane, arXiv:1708.00274, 2017. 참고 M. Rice, https://sites.google.com/site/intriguingtessellations/home N. Wolchover, Marjorie Rice’s secret pentagons, Quanta Magazine, July 11, 2017. N. Wolchover, Pentagon tiling proof solves century-old math problem, Quanta Magazine, July 11, 2017.
수학동아 연재 (2016년)
2016년부터 수학동아에 “따끈따끈한 수학”이라는 코너를 연재하기로 하였습니다. 목표는 이산수학 분야의 따끈따끈한 논문 소식들을 중학생 수준에서도 읽을만하게 적는 것입니다. 사실 그게 말처럼 쉬운 것은 아니지만요. 현재까지 실린 글과 앞으로 실릴 글을 예고하고 관련 논문을 정리했습니다. 혹시 글감으로 추천할 논문이 있으면 연락주셔도 좋습니다. 글이 길어져서 2017년 내용은 따로 분리하였습니다. 2017년 따끈따끈한 수학 내용 보기 2016년 1월호: 그래프 동형 문제 (Graph isomorphism problem) 작년 가을에 떠들석했던 그래프 동형 문제를 quasi-polynomial 시간에 풀 수 있다는 Babai 교수 결과에 대해 정리했습니다. (사실 기사 제목에 “P일까, NP일까?”로 나갔는데 잘못된 제목입니다. 정확하게는 “P일까 아닐까?” 정도가 좋겠죠. NP 대신 NP-hard라고 하든지 했어야 하는데 제목이 들어간 편집본을 꼼꼼히 검토하지 못했네요.) 이 글은 네이버캐스트에도 소개되었습니다. 논문: L. Babai, Graph Isomorphism in Quasipolynomial Time, arXiv:1512.03547, 2015. 2016년 2월호: Gyárfás 추측
KSIAM 조합론 분과 신설 소식
최근 KSIAM(한국산업응용수학회)에 조합론(Combinatorics) 분과가 신설되었습니다. 미국의 SIAM에서는 Discrete Mathematics가 예전부터 하나의 분과였는데 KSIAM에는 이제야 생기게 된 것이지요. 조합론 전공하시는 분들께서는 이번 기회에 KSIAM에 가입해주시면 좋을 것 같습니다. 가입하기 위해서는 KSIAM 홈페이지에서 가입신청을 하시고 회비를 신용카드 등으로 지불하면 됩니다. 하실때 조합론(Combinatorics) 분과를 선택해주시면 됩니다. 참고로 KSIAM 회원은 Reciprocity 계약에 의해 SIAM 회비의 30%를 할인받을 수 있습니다. 할인받는 방법은 KSIAM 홈페이지에 잘 나와 있습니다. SIAM 회비는 regular member의 경우 2015년 현재 $145이지만 Reciprocal member의 경우 $101.50입니다. 따라서 $43.50 할인되지요. 그런데 KSIAM 회비는 5만원입니다. 환율이 1150원 이상만 되더라도 $43.50이 5만원을 넘네요? SIAM 회비 매년 내시고 SIAM Conference on Discrete Mathematics 같은 학회 가시던 분들께서는 이번 기회에 KSIAM 회원 가입하시길 적극 권해드립니다.
그래프 이론 용어 우리말 번역
그래프 이론에서 널리 사용되는 용어들을 우리 말로 번역하는 적절한 표준이 아직 없습니다. 10여년 전에 성균관대 이상구 교수님께서 제작한 “그래프이론 용어사전” 웹사이트가 있습니다만, matching이나 k-connected같은 현대적이고 널리 (제) 연구에 쓰이는 그래프이론 용어가 나오지 않습니다. 오죽하면, 2000년에 고 이창우 교수님이 Introduction to Combinatorics라는 책을 쓰셨는데, 서문을 읽어보면 한국어 용어를 몰라 영어를 잘 못하는데도 불구하고 영어로 책을 쓰게 되었다고 적혀있습니다. (저도 어쩌다보니 보게 된 책일 뿐, 그래프이론 공부를 위해서는 딱히 추천하는 책은 아닙니다.)
2012년 국제수학올림피아드(IMO) 참가 보고
올해로 53회를 맞는 국제수학올림피아드(International Mathematical Olympiad, IMO)는 중고등학생 나이의 학생들이 참가할 수 있는 수학경시대회 중 가장 권위 있는 국제대회이다. 매년 100여 나라가 참가하고 각 나라에서 6명까지 학생들을 참가시킬 수 있다. 이번 53회 IMO는 아르헨티나의 마르델플라타에서 열렸다. 우리나라는 1988년 호주에서 열린 29회 대회부터 참가하기 시작하였으며, 올해는 역대 최초로 참가학생 전원이 금메달을 받음과 동시에 학생들의 총점으로 세계 1위를 차지하는 좋은 결과를 냈다. 올해 참가한 학생들은 아래와 같다. 김동률(서울과학고 1), 김동효(서울과학고 3), 문한울(세종과학고 2) 박성진(서울과학고 2), 박태환(서울과학고 3), 장재원(서울과학고 3) 대표 6명에는 들지 못했지만 최종후보로 뽑혔던 그 외 7명의 학생들은 아래와 같다. 강내훈(서울과학고 3), 강승연(서울과학고 2), 김재중(서울과학고 3), 배영진(서울과학고 3) 정종욱(신천중학교 3), 지세현(서울과학고 2), 황인재(서울과학고 1) 이번 한국 대표단 단장은 대략 20년간 올림피아드 사업에 참여하시고 계신 인하대 송용진 교수님이 수고해 주셨다. 그리고 전 세계 단장들이 뽑은 IMO 자문위원회 위원(IMO AB)이신 서울대 김명환 교수님, 공동 부단장이며 올림피아드 사업에 몇 년째 봉사하고 계신 영동대 이승훈 교수님이 함께 하셨다. 나는 올해로 3번째 참가였는데, 이번에 처음으로 부단장을 맡았다. 그 외에도 채점 과정 등을 돕기 위해 2007년과 2008년 IMO에서 각각 은메달과 금메달을 받았던 서울대 수리과학부의 이수홍 학생이 참관인으로 함께 참여했다. 한편 한국과학창의재단, 한국연구재단, 그리고 교육과학기술부에서도 한 명씩 부단장팀의 일원으로 참관인을 보냈다. IMO에서는 총 2번의 시험을 이틀 연속으로 보는데, 각각 3문제를 4시간 30분 동안 시험을 치른다. 각 문제는 7점 만점으로 채점하므로 한 학생이 받을 수 있는 최대 점수는 42점이다.
올해 아벨상은 헝가리 수학자 세머레디(Szemerédi)교수
헝가리 출신 수학자 세머레디 교수(71)가 수학계의 노벨상이라고 할 수 있는 아벨상 2012년 수상자로 결정되었다. 아벨상은 수학자 아벨의 이름을 따서 노르웨이 왕실에서 매년 매우 큰 업적을 남긴 수학자에게 수여하는 상으로 6백만 노르웨이 크로네, 원화로 약 11억원의 상금이 있는 명예로운 상이며 2003년에 첫 상이 수여되었다. 2년후 서울에서 열릴 국제수학자대회(ICM)에서 수여되는 필즈상은 40세 이하의 수학자만 받을 수 있지만, 아벨상은 노벨상처럼 나이 제한이 없다. 세머레디 교수의 전공분야는 이산수학 혹은 조합수학이라 불리는데, 특히 극단 조합론(Extremal Combinatorics) 분야를 많이 연구하였다. 수많은 공저자를 가진 수학자로 잘 알려진 에르디시의 영향으로 헝가리 수학자들이 전통적으로 강한 분야이다. 200여편의 논문을 쓰고 아울러 70이 넘은 지금도 여전히 연구에 매진하는 세머레디 교수의 연구결과를 모두 소개하는 것은 매우 어렵다. 하지만 수학의 다른 분야에 비해 상대적으로 이산수학의 문제들은 풀기는 매우 어렵더라도 누구나 쉽게 이해할 수 있는 경우가 많다. 이 글에서는 세머레디의 가장 잘 알려지고 중요한 업적인 등차수열이 있을지에 관한 연구와 그 과정에서 파생되었으나 수많은 응용을 낳은 “규칙성 보조정리”라는 것에 관해 다루고자 한다.